Cauchy-eulersche Bewegungsgesetze

Die cauchy-eulerschen Bewegungsgesetze von Augustin-Louis Cauchy und Leonhard Euler sind die lokalen Formen des Impuls- und Drallsatzes in der Kontinuumsmechanik. Es sind Bewegungsgleichungen, die, wenn sie lokal, d. h. in jedem Punkt eines Körpers erfüllt sind, sicherstellen, dass die Bewegung des Körpers als Ganzes – inklusive Verformungen – dem Impuls- bzw. Drallsatz gehorcht.

Das erste cauchy-eulersche Bewegungsgesetz korrespondiert mit dem Impulssatz und lautet im geometrisch linearen Fall an einem materiellen Punkt des Körpers:

${\displaystyle \rho {\vec {a}}=\rho {\vec {k}}+\operatorname {div} \;{\boldsymbol {\sigma }}}$

Hier ist ρ die Dichte, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ die Beschleunigung des materiellen Punktes, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ die Schwerebeschleunigung, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ der cauchysche Spannungstensor und div der Divergenzoperator. Die spezifische Impulsänderung bestimmt sich demnach aus der spezifischen Schwerkraft und dem Antrieb durch einen Spannungsanstieg. Alle Variablen in der Gleichung sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig.

Das zweite cauchy-eulersche Bewegungsgesetz entspricht dem lokal formulierten Drallsatz, der sich auf die Forderung nach der Symmetrie des cauchyschen Spannungstensors reduziert:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}^{\top }}$

Das Superskript „⊤“ markiert die Transposition. Die Symmetrie entspricht dem Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen.^{[L 1]}

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji},\quad i,j=1,2,3}$.

Bei großen Verschiebungen können beide Bewegungsgesetze in lagrangescher Betrachtungsweise materiell oder eulerscher Betrachtungsweise räumlich formuliert werden. Die Struktur der Gleichungen bleibt dabei erhalten, aber es kommt zu Modifikationen in den Abhängigkeiten oder im Spannungstensor.

Die cauchy-eulerschen Bewegungsgesetze sind die Basis für die eulerschen Gleichungen der Strömungsmechanik, der Navier-Stokes- und der Navier-Cauchy-Gleichungen. Eine der Grundgleichungen der Verschiebungsmethode in der Finite-Elemente-Methode ist das Prinzip von d’Alembert in der lagrangeschen Fassung, das eine aus den cauchy-eulerschen Gesetzen folgende Aussage ist.

Für Begriffsklärung empfiehlt sich die Lektüre des Artikels zur Kontinuumsmechanik. Die verwendeten Operatoren und Rechenregeln sind in den Formelsammlungen zur Tensoralgebra und Tensoranalysis aufgeführt.
Referenzfehler: <ref>-Tags existieren für die Gruppe L, jedoch wurde kein dazugehöriges <references group="L" />-Tag gefunden.